Introduction au Compressed sensing, Complétion de matrices et systèmes de recommandations
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چکیده
Résumé On introduit dans ce chapitre le problème de complétion de matrices. Une hypothèse de parcimonie naturelle dans ce problème est l’hypothèse de faible rang. La procédure naturellement associée à cette hypothèse est basée sur la minimisation de la fonction rang sur un espace de solutions {B ∈ Ru×v : 〈 B,Xi 〉 = yi,∀i = 1, . . . ,m}. Cette procédure est en générale NP-hard. On va alors utiliser l’approche de la relaxation convexe dans ce cadre. La procédure obtenue est celle qui consiste à minimiser la norme nucléaire (i.e. la somme des valeurs singulières) sur l’espace des solutions. On montre que cette procédure peut se réécrire comme un problème de semi-definite programming et peut donc être implémentée efficacement (avec quelques restrictions sur la grandeur de la dimension). On analyse ensuite la procédure de minimisation de la norme nucléaire par l’approche RIP puis par une approche plus générale basée sur l’étude de la taille de la sous-différentielle de la norme de régularisation et sur la minoration d’un processus quadratique.
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